<bold>SU(2)-SU(1, 1)</bold>含时非厄米哈密顿的精确解<bold>、Berry</bold>相位和经典<bold>-</bold>量子对应
Abstract
<p indent="0mm">基于广义含时规范变换和不变量两种方法, 统一研究了SU(1, 1)和SU(2)李代数生成元表示的含时非厄米哈密顿, 它们分别对应周期变化外场中的谐振子和任意取值的单个自旋. 本征值为实数的非厄米哈密顿可以用相似变换厄米化, 和常规量子力学不同, 变换算符非幺正但须是厄米的. 我们把这一理论推广到含时哈密顿, 首先用含时厄米变换算符, 使新规范哈密顿变为不显含时间而且是厄米的. 退回到原规范, 得到含时薛定谔方程的精确解和相应的Berry相因子. 其次, 用相应的变换算符构造出非厄米不变量, 它的本征值是好量子数, 基于不变量算符本征矢展开的演化算符也给出相同的波函数和几何相因子. 我们发现, SU(2)非厄米哈密顿确实存在一耦合常数奇异点(Exceptional Point) <inline-formula id="INLINE1"><mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline" mathsize="10.0pt"><mml:mrow><mml:msub other="0"><mml:mi mathsize="10.0pt" other="0">G</mml:mi><mml:mi mathsize="7.0pt" other="1">c</mml:mi></mml:msub><mml:mrow><mml:mo mathsize="10.0pt">(</mml:mo><mml:mi mathsize="10.0pt">ω</mml:mi><mml:mo mathsize="10.0pt">)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow></mml:math></inline-formula>, 所有本征态简并, 本征值为0, Berry相位发散, 超过该点能谱变为复数. 然而, SU(1, 1)非厄哈密顿本征值在全参数区皆为实数. SU(1, 1)含时非厄米哈密顿算符对应的经典哈密顿量, 事实是一个坐标和动量变量的含时复函数, 通过广义规范变换, 可以转化为实函数, 对应量子理论中的厄米化, 得到了SU(1, 1)经典哈密顿周期演化的Hannay角, 它和量子Berry相位间有精确的对应关系, <inline-formula id="INLINE2"><mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline" mathsize="10.0pt"><mml:mrow><mml:msub other="0"><mml:mi mathsize="10.0pt" other="0">γ</mml:mi><mml:mi mathsize="7.0pt" other="1">n</mml:mi></mml:msub><mml:mrow><mml:mo mathsize="10.0pt">(</mml:mo><mml:mi mathsize="10.0pt">T</mml:mi><mml:mo mathsize="10.0pt">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo mathsize="10.0pt">=</mml:mo><mml:mo mathsize="10.0pt">−</mml:mo><mml:mrow><mml:mo mathsize="10.0pt" minsize="2.5">(</mml:mo><mml:mrow><mml:mi mathsize="10.0pt">n</mml:mi><mml:mo mathsize="10.0pt">+</mml:mo><mml:mfrac><mml:mn mathsize="10.0pt">1</mml:mn><mml:mn mathsize="10.0pt">2</mml:mn></mml:mfrac></mml:mrow><mml:mo mathsize="10.0pt" minsize="2.5">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mtext mathsize="10.0pt">∆Θ</mml:mtext></mml:mrow></mml:math></inline-formula>.</p>
